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前文回顾：

扒一扒布尔代数创始人的夫人——玛丽·布尔和曲线缝合：仰望天堂
《维度：数学漫步》导演Jos Leys的数学艺术1：蜘蛛网的艺术

曲线缝合密度图

用直线创造曲线很容易。要做到这一点，你需要在木板上画一个基本的图形(圆、等边三角形、正方形、正多边形)，按一定的间隔钉上钉子，然后按照一定的规则将它们连接在一起。通过这种方式，我们在大脑中形成了圆圈、抛物线和其他曲线，尽管我们实际上只看到了这些曲线的切线。

6.1作为基本图形的圆-正多边形的边和对角线

如果钉子以n个规则间隔钉在一条圆形线上，并且每个钉子都与所有其他钉子连接，则形成一个规则的正n边形，有n条边和0.5n(n-3)条对角线。).

下图显示了各种规则的正n边形，它们是由规则的正6边或8边形的顶点数加倍得到的：规则的12边图形有12边和54条对角线，规则的16边图形有16边和104条对角线，规则的24边图形有24条边和252条对角线：

随着顶点数量的增加，我们的脑海中会出现这样的印象，即在图形中画了一些圆。这些圆并不真正存在。我们实际看到的是圆的切线。

为了验证这一点，请考虑一个顶点与另一个顶点之间的对角线。这条对角线是每两条从同一点出发的对角线的对称轴。接下来相邻的两条对角线是最内侧圆的切线，接下来的两条是最内侧圆的切线，以此类推。

从图中可以看出，最里面的（虚）圆的半径大约是正多边形边长的一半。

第二个(假想的)圆的半径不到最里面的圆的半径的两倍，第三个圆的半径不到三倍；在每种情况下，半径从内到外的增加都稍微小一些。

在第1章中，我们解释了一个规则的n边形的哪些顶点必须与哪些顶点相连才能形成一个n角星，这样就只需要一条线了。即使这里只需要一些对角线，圆圈显然也会在图形内部发展起来，请看下面的星{19/8}、{20/7}、{21/8}的图例。

6.2 作为基本图形的正方形

6.2.1 正方形中的特殊星形图

如果你选择一个正方形的顶点和中间的其他点，你会得到特殊的星形图。

例如，如果你选择A-D-G-B-E-H-C-F-A的顺序，即把8个点中的每一个与下一个的第三点连接起来，你会得到一个8角星{8/3}。如果给图案的子区域涂上颜色，又会产生一个特别漂亮的星星。

这种星形图形的特点是:如果你选择60个单位作为正方形的边长，并将坐标系的原点放在图形的一个“角”或中心，那么所有出现的交点都有整数坐标，所有的分区都是整数。

反思和调查建议

A 6.1:在下图中，8个点的图形中画出了各种网格线，从中可以读出交点的整数坐标。周围正方形的边长是60个单位。

定义图形交点的坐标并计算分区。直角三角形的边长之比是多少？

A 6.2:用与A 6.1相同的方法确定下列十二角星交点的坐标。

正方形中的抛物线

如果你把一个正方形的左垂直边和下水平边分成十个大小相等的部分，给细分点编号0，1，2，…，10并连接。

·垂直侧的10号点和水平侧的1号点，

·垂直侧的9号点和水平侧的2号点，

·垂直侧的8号点和水平侧的3号点，

·…。

·垂直侧的1号点和水平侧的10号点，

然后，图6.1a中的图案产生。

它看起来就像一条曲线，它是一条抛物线。但实际上我们只画出了抛物线的切线。

图6.1 a–c正方形中的抛物线

如果两个正方形边上的截面数量增加(例如，20个截面或40个截面，见图6.1b，c)，则曲线实际上已经形成的印象得到加强。

从下图可以看出，曲线不是四分之一圆。

当您在正方形中创建四个这样的抛物线“图形”或使用彩色线时，会创建以下线图案。

除了使用正方形作为框架，您还可以使用两个垂直(坐标)轴(或四个正方形放在一起形成一个更大的正方形)。

作为一个基本图形，你也可以使用正多边形或带有特殊角度的轴。线在两个相邻的边或轴之间拉伸:

6.3 题外话：曲线家族的包络

在高等数学中，这些在我们大脑中生成的曲线被称为包络（或包络曲线）。由于这里看的是线型，所以这些是直线家族的包络。

为了确定这种包络曲线的方程，我们必须分析直线族的函数方程。这超出了学校课程中通常涉及的方法。

6.4追逐曲线

图示包含无限多个嵌套正方形的序列，这些方块的基本边被分成比例为3：7、2：8或1：9的部分。

它们的形成如下：正方形的所有四条边都按指示的比例划分。然后，所有的分割点都与相邻边上的相应点相连--得到的图形又是一个正方形。在这个正方形中，两边也以相同的比例划分，以此类推。

追逐的名字曲线可以用下面的故事来解释：

四只狗坐在一个正方形的顶点上，每只狗都注意到旁边有一只狗(顺时针或逆时针方向)。他们跑向旁边的狗，但当他们跑完一段距离后，他们同时注意到他们必须改变方向，因为他们瞄准的狗在此期间改变了它的位置，等等。

在上述图表中，人们很难说出一条“曲线”，但分割点离顶点越近，这种印象就越强烈；在图6.4a，b中，分割率为1：19。用不同颜色表示正方形的线条图案肯定令人印象深刻。

图6.4 a，b作为嵌套正方形包络的对数螺线

这些明显浮现的曲线是所谓的对数螺旋线。这些螺旋线围绕正方形的中心旋转无限次；然而，它们的长度是有限的--它实际上和正方形的边长一样长。

对数螺线的特殊性质之一是：

如果绘制通过正方形中心的任何直线，它们将始终以相同的角度(即45°)与缓和曲线相交。

然而，在实践中，具有追踪曲线的螺纹图案很快暴露出关于钉子必须钉入的位置的准确性的问题，因为这些位置越来越靠近。当显示在计算机屏幕上时，这些问题只在旋臂转向的正方形中心附近遇到。

可以用不同的方式来设计带有追逐曲线的图形，例如，通过交替地对场进行着色，或者通过仅绘制形成缓和曲线的轨迹，或者通过对由缓和曲线创建的子区域着色。

对数螺线也为其他基础多边形创建。(通过几何级数)可以看出，边长为s的正n边图形的螺旋长度λn计算如下:

在n=4结果λ4=s的情况下，也就是说，如上所述，螺线与正方形的边一样长。

在等边三角形中，以下公式适用于追逐曲线的长度：λ3=2/3·s，在正五边图形中应用λ5≈1.447.s，在正六边图形中，对数螺线的长度是边的两倍：λ6=2·s。

6.5基本图形为圆：外摆线

摆线是一条曲线，由圆(轮)上的一点沿直线滚动而成。如果移动的圆在另一个固定的圆上滚动，得到的曲线称为外摆线。

创建的曲线类型取决于固定圆和移动圆的半径之比。

我们将查看以下示例：

1.滚动圆和固定圆的半径为r。

2.固定圆的半径为2r，滚动圆的半径为r。

3.固定圆的半径为3r，滚动圆的半径为r。

在图6.5a-c中，固定圆的中心在原点，用黄色表示，滚动的圆用蓝色表示，每一个都在几个不同的位置。

曲线可用以下参数表示法描述(参见图6.6a-c)：

x(t) = r · [2cos(t) − cos(2t)]; y(t) = r · [2sin(t) − sin(2t)]

x(t) = r · [3cos(t) − cos(3t)]; y(t) = r · [3sin(t) − sin(3t)]

x(t) = r · [4cos(t) − cos(4t)]; y(t) = r · [4sin(t) − sin(4t)]

外摆线也可以由包络线图案产生:

如果你把一个正n边形的顶点(即圆上的点)按照一定的规则连接起来，那么这样的外摆线就在我们的大脑中产生了。

图6.5 a–c外摆线，固定圆和滚动圆在几个不同的位置

图6.6参数表示的a–c图

首先我们看一个72边的规则图形。顶点从1到72编号；然后继续编号，使得顶点k和顶点72 + k、144 + k等等。是一样的。

如果你把顶点k和(1)2k号顶点或(2)3k号顶点或(3)4k号顶点 连接起来，那么就可以得到上述包络的外摆线；如果顶点数加倍到144，轮廓会变得更清晰(请参见下图)。

The envelope in case (1) is a epicycloid with one cusp; it is also referred to as cardioid (Greek kardia, Engl. heart), in case (2) it is a epicycloid with two cusps, which is called nephroid (Greek nephros, Engl. kidney).

情况(1)中的包络是具有一个顶点的外摆线；它也被称为心形线，在情况(2)中它是具有两个尖点的外摆线，称为肾形线。

6.6作为基本图形的垂直轴:星形线

下面两张图中的包络曲线看起来像抛物线，实际上是所谓的星形线。

第一个图案的画法确定如下:

在x轴上，标记等距的点。然后，取固定长度的螺纹，将它们连接到x轴的点上，然后确定螺纹另一端在y轴上的对应点。

人们也可以想象包络曲线是这样创建的:

具有一定长度的梯子从墙上(y轴)滑下。对于x轴上的某些位置(彼此距离相等)，梯子倾斜的y轴上的相应点被标记。

星状线是所谓的下摆线的例子。当一个移动的圆在一个固定的圆内滚动时，就会创建这些圆。

在图6.7a中，固定圆的半径为r，滚动圆的半径为1/4r。

图6.7B所示曲线的参数表示为：

x(t) = r · cos3(t); y(t) = r · sin3(t)

这条曲线也可以用方程来描述

星状线的长度为6r，略短于圆周(2πr)。

图6.7 a，b星状线的例子

参考文献

维基百科

• Envelope

• Pursuit curve

• Epicycloid

书籍

• Hale, Helen, Curve Stitching: Art of Sewing Beautiful Mathematical Patterns, Tarquin Pub, 2008

青山不改，绿水长流，在下告退。

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